TRANSFORMADAS INTEGRALES SEMESTRE 1/2013-14
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 funciones analiticas en z

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Mastrangelo M. Ivan 2



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Fecha de inscripción : 26/04/2010

MensajeTema: funciones analiticas en z   Sáb Jun 19, 2010 9:42 pm

Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z0, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z0).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z0 y nos aproximamos al punto z0 desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z0) desde la dirección f '(z0) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z0 en U, decimos que f es holomorfa en U.

Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa -con inversa continua- entonces f^{-1} es holomorfa y su derivada vale 1/f'.

[editar] Ejemplos
Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C, y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raíz cuadrada se puede definir como : y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.
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